线性代数,二次型,标准型,正交矩阵,对称矩阵

题目

线性代数,二次型,标准型,正交矩阵,对称矩阵
设有二次型F（x1 x2 x3 ）=（x1）*2+2（x2）*2+ （x3）*2 +4x1x2+6x1x3+4x2x3,(）（x1）*2为x1的平方)
（1）写出二次型的对称矩阵A
（2）求一个正交矩阵P,使得P^(-1)AP为对角矩阵
（3）写出在该正交变换x=Py下f的标准形,该二次型是否正定二次型?

答案

呵呵 还没人来做 那就麻烦麻烦我吧 ^-^ 不过这题目真的麻烦
(1) A =
1 2 3
2 2 2
3 2 1
(2) 第1步: 求A的特征值.
| A - λE| = λ(λ+2)(6-λ). 特征值为 0, -2 , 6.
分别求出特征值对应的特征向量:
A - 0E 初等行变换化为
1 0 -1
0 1 2
0 0 0
得基础解系: ( 1, -2, 1)^T.
A + 2E 初等行变换化为
1 0 1
0 1 0
0 0 0
得基础解系: ( -1, 0, 1)^T.
A - 6E 初等行变换化为
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
得基础解系: ( 1, 1, 1)^T.
把这3个向量单位化, 就是除它们的长度, 得3个列向量
a1 = (1/根号6)( 1, -2, 1)^T, a2 = (1/根号2) ( -1, 0, 1)^T, a3 = (1/根号3) ( 1, 1, 1)^T .
则P = (a1,a2,a3) 满足 P^(-1)AP = diag(0,-2,6).
(3) f = -2y2^2 + 6y3^2
不是正定二次型.