证明若集合A上的一个二元关系R是对称的,则对于任意的n≥1,R^n也是对称的
题目
证明若集合A上的一个二元关系R是对称的,则对于任意的n≥1,R^n也是对称的
答案
你有一个地方写的不规范:
R^n是R与自身的n次笛卡尔积;任何集合的笛卡尔积都是一个对称关系,这样一来你的问题就没有意义了.我想你所说的应该是R与自身的n次【复合】,那应该写作:
R^(n)=R○R○…○R;
分析:对称性,说到底就是这样一条性质:
【<a,b>∈R】→【<b,a>∈R】;
动态来看,一个关系就是从一个元素引出另一个元素的一种对应;而关系的复合,其实就是对这种【对应】的重复.
如果有:<a,z>∈R^(n);
那么:我们必然可以找到一个元素序列:b,c,…,x,y;满足:
<a,b>∈R;
<b,c>∈R;
…
<x,y>∈R;
<y,z>∈R;
因为R是对称的,所以我们可以得出:
<z,y>∈R;
<y,x>∈R;
…
<c,b>∈R;
<b,a>∈R;
根据上面的序偶序列,就可以得出:
<z,a>∈R^(n);
这就证明R^(n)的对称性了.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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