设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a^2+b^2+c^2=25 ,x^2+y^2+z^2=36,ax+by+cz=30 求(a+b+c)/(x+y+z)的值

题目

设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a^2+b^2+c^2=25 ,x^2+y^2+z^2=36,ax+by+cz=30 求(a+b+c)/(x+y+z)的值

答案

由柯西不等式：
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)>=(ax+by+cz)^2.
而本题中 a^2+b^2+c^2=25,x^2+y^2+z^2=36,ax+by+cz=30. 恰好有
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2,即柯西不等式的等号成立.
根据柯西不等式的取等条件,必有 a/x=b/y=c/z,所以 a^2/x^2=b^2/y^2=c^2/z^2,因此有 a^2/x^2=b^2/y^2=c^2/z^2=(a^2+b^2+c^2)/(x^2+y^2+z^2)=25/36,从而由a,b,c,x,y,z均为正实数可知 a/x=b/y=c/z=5/6.
进而 (a+b+c)/(x+y+z)=5/6.