在正方形ABCD中有一点P,联结PA,PB,PC,且PA=1,PB=2,PC=3,求正方形ABCD的面积

题目

在正方形ABCD中有一点P,联结PA,PB,PC,且PA=1,PB=2,PC=3,求正方形ABCD的面积

答案

本题用旋转法可以巧解.
将△PBC绕B点逆时针旋转90°至BC与AB重合,得到一个新的△AQB,可知：BQ=PB=2,QA=PC=3,∠ABQ=∠PBC,
由于∠PBC+∠ABP=90°,所以∠PBQ=∠ABQ+∠ABP=∠PBC+∠ABP=90°,则△PBQ是一个等腰直角三角形,
故：∠BPQ=45°,
由勾股定理,得:PQ^2=PB^2+BQ^2=2^2+2^2=8,
另外,在△APQ中,PA^2+PQ^2=1^2+8=9=QA^2,由勾股定理知：△APQ是一个以∠APQ为直角的直角三角形,即∠APQ=90°.
综上得：∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°+45°=135°.
AB^2=PA^2+PB^2-2PA*PB*cosAPB=1+4-2*1*2*(-根号2/2）
=5+2根号2
即正方形的面积是：5+2根号2