函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1)是定义在（-∞,+∞）上的奇函数,且f(1/2)=2/5

题目

函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1)是定义在（-∞,+∞）上的奇函数,且f(1/2)=2/5
求第二问
判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并用定义证明你的结论

答案

f(x)=(ax+b)/(1+x^2)
因为：f(x)是奇函数,
所以：f(0)=b=0,即：f(x)=ax/(1+x^2).
又因为f(1/2)=2/5
所以：a(1/2)/(1+(1/2)^2)=2/5
即：a(1/2)/(1+1/4)=a(2/5)=2/5
所以：a=1
所以,所求解析式为：f(x)=x/(1+x^2).
设x1＜x2,且x1,x2∈(-1,1)
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)
=[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
显然,上式中分母＞0,我们只需考查分子.
分子=x2+x2(x1^2)-x1-x1(x2^2)
=(x2-x1)-x1x2(x2-x1)
=(x2-x1)(1-x1x2)
因为x1,x2∈(-1,1),所以x1x2＜1,即：1-x1x2＞0
又因为x1＜x2,所以x2-x1＞0
所以：当x2＞x1时,f(x2)＞f(x1)
即：在(-1,1)定义域内,f(x)是增函数.