计算定积分f（0到3）arctan根号xdx

题目

计算定积分f（0到3）arctan根号xdx

答案

先换元,令√x=u,则x=u²,dx=2udu,u：0→√3
∫[0→3] arctan(√x) dx
=∫[0→√3] 2uarctanu du
=∫[0→√3] arctanu d(u²)
分部积分
=u²arctanu - ∫[0→√3] u²/(1+u²) du
=u²arctanu - ∫[0→√3] (u²+1-1)/(1+u²) du
=u²arctanu - ∫[0→√3] 1 du + ∫[0→√3] 1/(1+u²) du
=u²arctanu - u + arctanu |[0→√3]
=3*(π/3) - √3 + π/3
=4π/3 - √3
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