设n阶矩阵A满足A平方=A,E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n.

题目

设n阶矩阵A满足A平方=A,E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n.

答案

n阶矩阵A满足A平方=A
===>r(A)≤n
当r(A)=n时,===>A=E===>r(A-E)=0===>r(A)+r(A-E)=n
当r(A)A为至少有一行是全0的单位矩阵
===>r(A)+r(A-E)=n.
===>n阶矩阵A满足A平方=A,r(A)+r(A-E)=n