在圆x^2+y^2=r^2内有一定点（a,0）M,N分别为圆上动点且MA垂直NA,若四边形AMQN为矩形,求动点的轨迹

题目

在圆x^2+y^2=r^2内有一定点（a,0）M,N分别为圆上动点且MA垂直NA,若四边形AMQN为矩形,求动点的轨迹

答案

设M,N两点坐标为（x1,y1)、(x2,y2),Q点为（x,y）,则有
(x-a)^2+y^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
x+a=x1+x2
y=y1+y2
x1^2+y1^2=r^2
x2^2+y2^2=r^2
即(x-a)^2+y^2=2r^2-2(x1x2+y1y2)
(x+a)^2+y^2=(x1+x2)^2+(y1+y2)^2=2r^2+2(x1x2+y1y2)
所以(x-a)^2+y^2+(x+a)^2+y^2=4r^2
即x^2+y^2=2r^2-a^2
所以动点Q的轨迹为x^2+y^2=2r^2-a^2