定义域在R上的增函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求f(0) (2)求证：f(x)是奇函数

题目

定义域在R上的增函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求f(0) (2)求证：f(x)是奇函数
(3)解不等式f(3x)+f(x+1)＜0

答案

∵f(0+0)=f(0)+f(0)=f(0)
∴f(0)=0
令y=-x可得
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
∵f(x)是奇函数
∴f(3x)+f(x+1)＜0
∴f(3x)