设A是数域K上的n级矩阵,证明:如果K^n中任意非零列向量都是A的特征向量,则A一定是数量矩阵.

题目

设A是数域K上的n级矩阵,证明:如果K^n中任意非零列向量都是A的特征向量,则A一定是数量矩阵.

答案

设 A=（aij）i,j = 1,.,n.
设 列向量 ei = (0,...,0,1,0,...,0)^T, 其中 1 是第i个坐标, i = 1,2,...,n.
K^n中任意非零列向量都是A的特征向量 ===>
Aei = tiei, ti 属于K 为对应于ei的特征根, i = 1,...,n.
即： （a1i,.., aii,...,ani）= (0,...,0, ti,0,...,0).
===> aij = 0 如果 i 不=j. aii = ti.
下面只需证明 所有的 ti, i =1,...,n 都相等.
因为 ei + ej 也是特征向量,于是：
A(ei + ej) = t(ei + ej), t属于K
即： ti ei + tj ej = t(ei + ej)
(ti - t)ei + (tj -t)ej = 0,
因为 ei, ej 线性无关, 所以 ti = tj = t
所以 A = t En, 其中 En 是 n*n 单位矩阵. 即 A是数量矩阵