已知向量a=（cos（θ-π/4）,1）,b=(3,0),其中θ∈（π/2,5π/4）,若a·b=1

题目

已知向量a=（cos（θ-π/4）,1）,b=(3,0),其中θ∈（π/2,5π/4）,若a·b=1
（1）求sinθ的值
（2）求tan2θ的值
求完整、清楚过程,

答案

（1）∵a·b=1
∴3cos(θ-π/4)=1
3cosθcosπ/4+3sinθsinπ/4=1
cosθ+sinθ=√2/3①
∵θ∈（π/2,5π/4）,
∴cosθ0 θ∈(π/2,π)
①²得到
1+2sinθcosθ=2/9
∴sinθcosθ=-7/9②
①②联立解得
sinθ=(√2+√30)/6
cosθ=(√2-√30)/6
(2)tanθ=sinθ/cosθ=-(8+√15)/7
∴tan2θ=2tanθ/(1-tan²θ)=7/15·√15