“除平凡子群外无其他子群的群是素数阶循环群”怎样证明?

题目

“除平凡子群外无其他子群的群是素数阶循环群”怎样证明?

答案

沙发
证明：设群G无非平凡子群,a是G中的非单位元,则H=(a)是G的子群且H≠{e},所以G=H=(a),所以G是循环群.
如果G是无限群,因为G≌Z,但Z有无穷多个非平凡子群nZ,矛盾,G必是有限群.
不妨设G为n阶群,则G≌ Zn,考虑Zn中任一循环子群(a),a∈Zn且非单位元,因为Zn无非平凡子群,所以Zn=(a),故a和n互素,即(a,n)=1这对一切1