实变函数与泛函分析基础题目：设f(x),g(x)是定义在E上的函数,证明:

题目

实变函数与泛函分析基础题目：设f(x),g(x)是定义在E上的函数,证明:

答案

这个不是非常显然的吗,直接证明就行了
记A={x:f(x)>g(x)},B_n={x:f(x)>=g(x)+1/n}
对任何n都有B_n包含于A,所以其并集也包含于A
反过来任取x属于A,当n>=1/[f(x)-g(x)]>0时f(x)>=g(x)+1/n,即x属于B_n,也就属于所有B_n的并