如图，四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，四边形ABDE为平行四边形． （1）求证：DE=CD； （2）若∠ABC=2∠E，求证：四边形ABCD为菱形．

题目

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，四边形ABDE为平行四边形．

（1）求证：DE=CD；
（2）若∠ABC=2∠E，求证：四边形ABCD为菱形．

答案

证明：（1）∵四边形ABDE为平行四边形，
∴AB∥CE，AB=DE．…（1分）
∵AD∥BC，AB∥CE，
∴四边形ABCD为平行四边形．…（2分）
∴AB=CD．…（3分
∴DE=CD．…（4分）
（2）∵四边形ABDE为平行四边形，
∴∠ABD=∠E．
∵∠ABC=2∠E，
∴∠ABD=∠DBC=∠E．…（5分）
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∴∠ADB=∠ABD．
∴AB=AD．…（7分）
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形． …（8分）