求证,闭区间上的连续函数若每个点都是极值点,则它是常值函数.

题目

求证,闭区间上的连续函数若每个点都是极值点,则它是常值函数.
本题不一定可导，to 飞翔同学
Riemann函数是减弱到几乎处处连续条件下的反例。不过好像没什么意义。

答案

这题有点意思.
用反证法
若不然,则存在不相等的实数a和b,满足f(a)不等于f(b),不妨记a由连续函数的介质定理 知存在c1,满足a在[a,c]和[c,b]中必有一个区间长度小于等于(1/2)*(b-a),取之,并记为[a1,b1]
同样的方法,在[a1,b1]中必有c2,满足a这样我们得到一个无穷的闭区间套[a1,b1],[a2,b2]····[an,bn]
满足bn-an<=(1/2^n)*(b-a)
由闭区间套定理 知 必有一点c,满足an<=c<=bn,n=1,2,3····
若点x=c为函数f(x)的极值点,则存在点c的某个邻域,其中f(c)不大于或者不小于函数在此邻域上的所有取值.而必存在数k,满足ak,bk也属于此领域,而由闭区间套的取法,知必有
f(bk)f(c)>f(ak)之一成立,矛盾.
故f(x)必为常值函数.