已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN. (1)当
题目
已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/503d269759ee3d6d246a727a40166d224e4aded7.jpg)
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明;
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.
答案
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/58ee3d6d55fbb2fb3087ada34c4a20a44723dcd7.jpg)
(1)BM+DN=MN成立.
证明:如图,把△ADN绕点A顺时针旋转90°,
得到△ABE,则可证得E、B、M三点共线(图形画正确).
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°,
又∵∠NAM=45°,
∴在△AEM与△ANM中,
∴△AEM≌△ANM(SAS),
∴ME=MN,
∵ME=BE+BM=DN+BM,
∴DN+BM=MN;
(2)DN-BM=MN.
在线段DN上截取DQ=BM,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/54fbb2fb43166d223adbe025452309f79152d2d7.jpg)
在△ADQ与△ABM中,
∵
,
∴△ADQ≌△ABM(SAS),
∴∠DAQ=∠BAM,
∴∠QAN=∠MAN.
在△AMN和△AQN中,
∴△AMN≌△AQN(SAS),
∴MN=QN,
∴DN-BM=MN.
(1)BM+DN=MN成立,证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM,从而证得ME=MN.
(2)DN-BM=MN.证明方法与(1)类似.
旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
本题考查了旋转的性质,解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量.
举一反三
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