设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a大于0)

题目

设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a大于0)
若f(x)在(0,1]上是最大值为1/2,求a的值.

答案

f(x)=lnx+ln(2-x)+ax
=lnx(2-x)+ax
=ln[1+(2x-x^2-1)]+ax
=ln[1-(x-1)^2]+ax
显然,f(x)在定义域内为增函数
所以,当x=1时,f(x)取最大值1/2
所以 f(x)=ln1+ln(2-1)+a =1/2
a=1/2