已知关于x的方程x²+p1+q1=0与x²+p2+q2=0

题目

已知关于x的方程x²+p1+q1=0与x²+p2+q2=0
求证：当p1p2=2(q1+q2)时,这两个方程中至少有一个方程有实根

答案

假设两方程均无实根,即p1^2<4q1,p2^2<4q2
两不等式相乘,得p1^2*p2^2<16q1*q2
由不等式（a+b）^2≥4ab,则16q1*q2≤4（q1+q2）^2
p1^2*p2^2<4（q1+q2）^2
p1*p2<2(q1+q2)
与p1p2=2(q1+q2)矛盾
所以两个方程中至少有一个方程有实根.