若关于x的一元二次方程a(1-x)²+c(1+x²)=2bx有两个相等的实数根,试判别以a、b、c为边的三角形形状?

题目

若关于x的一元二次方程a(1-x)²+c(1+x²)=2bx有两个相等的实数根,试判别以a、b、c为边的三角形形状?

答案

方程a(1-x)^2+c(1+x^2)=2bx
整理：a(x^2-2x+1)+c(x^2+1)-2bx=0,
ax^2-2ax+a+cx^2+c-2bx=0,
(a+c)x^2-(2a+2b)x+(a+c)=0,
方程有两个相等的实数根
所以△=4(a+b)^2-4(a+c)^2=0
(a+b)^2=(a+c)^2,
a+b=a+c,
所以b=c
所以三角形是等腰三角形