已知z1,z2是实系数一元二次方程的两个根,(1)若z1,z2是虚数,是否存在实数t,使z1+tz2=12+i,说明理由

题目

已知z1,z2是实系数一元二次方程的两个根,(1)若z1,z2是虚数,是否存在实数t,使z1+tz2=12+i,说明理由

答案

如果虚数 z1、z2 是实系数一元二次方程的两个根,那么 z1、z2 是一对共轭复数,
设 z1=a+bi ,则 z2=a-bi ,
代入已知等式得 a+bi+t(a-bi)=12+i ,
所以 a+ta=12 ,b-tb=1 ,
因此解得 t=(12-a)/a=(b-1)/b ,
所以存在这样的实数 t 满足条件,如取 z1=8+2i ,z2=8-2i ,则 t=1/2 .