32-1=8×1， 52-1=24=8×3， 72-1=48=8×6， 92-1=80=8×10， … （1）你发现了什么？ （2）用数学式子来说明结论是正确的．

题目

3²-1=8×1，
5²-1=24=8×3，
7²-1=48=8×6，
9²-1=80=8×10，
…
（1）你发现了什么？
（2）用数学式子来说明结论是正确的．

答案

（1）n=1时，（2×1+1）²-1=8×1；
n=2时，（2×2+1）²-1=24=8×（1+2）；
n=3时，（2×3+1）²-1=48=8×（1+2+3）；
n=4时，（2×4+1）²-1=80=8×（1+2+3+4）；
…
n=n时，（2n+1）²-1=8×（1+2+3+…+n）．
即发现的规律为：（2n+1）²-1=8×（1+2+3+…+n）；
（2）∵左边=（2n+1）²-1=4n²+4n+1-1=4n²+4n，
右边=8×（1+2+3+…+n）=8×

n(n+1)

2

=4n（n+1）=4n²+4n，
∴左边=右边，
即（2n+1）²-1=8×（1+2+3+…+n）．