设函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）． （1）求a，b的值； （2）求函数f（x）的在区间[-1，4]上的最小值与最大值．

题目

设函数f（x）=x³-3ax²+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的在区间[-1，4]上的最小值与最大值．

答案

（1）∵f（x）=x³-3ax²+3bx，
∴f′（x）=3x²-6ax+3b，
∵f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），
∴f（1）=-11，f′（1）=-12，
∴1-3a+3b=-11，且3-6a+3b=-12，
解得：a=1，b=-3；
（2）∵a=1，b=-3，
∴f（x）=x³-3a²-9x，
∴f′（x）=3x²-6x+-9=3（x²-2x-3）=3（x+1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3，
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3，
∴f（x）在（-1，3）是减函数，在（3，4）上单调递增，
∵f（-1）=5，f（3）=-27，f（4）=-20，
∴f（x）的最小值为-27，f（x）的最大值为5，
∴函数f（x）的在区间[-1，4]上的最小值为2，最大值为5．