已知F1,F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2(a>b>0)的两个焦点,过F2做椭圆的弦AB,若△AF1B的周长 是16,椭圆

题目

已知F1,F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2(a>b>0)的两个焦点,过F2做椭圆的弦AB,若△AF1B的周长 是16,椭圆
已知F1,F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2(a>b>0)的两个焦点,过F2做椭圆的弦AB,若△AF1B的周长
是16,椭圆的离心率e=√3/2
(1)求椭圆的标准方程；
（2）若角F1AF2=90°,求△F1AF2的面积S
（3）已知P（2,1）是椭圆内一点,在椭圆上求一点Q,使得√3PQ+2QF最小,并求出最小值
帮忙解一下（2）（3）两问

答案

本题似乎缺少一个条件,如果直线L的方程不确定,可能导致椭圆方程不确定.基本思路如下：
易知左准线为x=-a^2/c,O(0,0),F2(-c,0)
令直线L的方程为y=kx+m（k≠0）,P1(x0,y0)
令O关于直线L的对称点为Q
由椭圆定义知P1F1+P1F2=2a
而已知P1F2-P1F1=10a/9
则由以上二式相加得P1F1=14a/9
又由两点间距离公式有P1F1^2=(x0+c)^2+y0^2
于是有(x0+c)^2+y0^2=(14a/9)^2（1）
因点P1在椭圆上,并注意到b^2=a^2-c^2
则有x0^2/a^2+y0^2/(a^2-c^2)=1（2）
又点P在直线L上
则有y0=kx0+m（3）
因O、Q关于直线L对称,Q在过O且与直线L垂直的直线上
注意到直线L的斜率为k
则令过O且与直线L垂直的直线方程为y=-x/k
而Q又在准线x=-a^2/c上
联立上述两直线方程解得Q(-a^2/c,a^2/kc)
显然直线L为线段OQ的垂直平分线
则P1到O、Q的距离相等,即P1O=P1Q
由两点间距离公式有(x0+a^2/c)^2+(y0-a^2/kc)^2=x0^2+y0^2
整理得(2/c)x0-(2/kc)y0+(a^2/c^2)(1+1/k^2)（4）
如果直线L确定,即k、m确定,利用以上四个方程便可确定a、c,进而确定b,最终确定椭圆方程.