设三角形ABC所对的边分别是a,b,c且acosC+1/2c=b

题目

设三角形ABC所对的边分别是a,b,c且acosC+1/2c=b
1.求角A的大小 2若a=1求三角形的周长L的取值范围

答案

1、
余弦定理
a(a²+b²-c²)/2ab+c/2=b
a²+b²-c²+bc=2b²
b²+c²-a²=bc
cosA=(b²+c²-a²)/2bc=1/2
所以A=60度
2、
a=1,A=60
b/sinB=c/sinC=a/sinA=2/√3
b+c=2/√3(sinB+sinC)
B=(B+C)/2+(B-C)/2
C=(B+C)/2-(B-C)/2
sinB+sinC=sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]+cos[(B+C)/2]sin[(B-C)/2]+sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]-cos[(B+C)/2]sin[(B-C)/2]
=2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
B+C=180-A=120
所以sinB+sinC=√3cos[(B-C)/2]
B+C=120
B=120-C>0,0