在椭圆x29+y24=1上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离．

题目

在椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离．

答案

设直线x+2y+C=0与椭圆

x2

9

+

y2

4

=1相切
联解消去x，得25y²+16Cy+4C²-36=0
△=（16C）²-4×25×（4C²-36）=0，解之得C=5或-5
∴与直线x+2y-10=0平行且与椭圆相切的直线方程为x+2y±5=0
其中与直线x+2y-10=0距离较近的是x+2y-5=0
∵平行线x+2y-10=0与x+2y-5=0的距离d=

|-10+5|

12+22

=

5

联解

x+2y-5=0 x2 9 + y2 4 =1

，得M的坐标为M（

9

5

，

8

5

）
∴椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上点M到直线x+2y-10=0的距离最小值为

5

，相应的点M坐标为（

9

5

，

8

5

）．

求出与已知直线平行且与椭圆

x2

9

+

y2

4

=1相切的直线方程，根据椭圆的性质可得两条切线中与已知直线距离较近那条与椭圆相切于M₀点，当M与重合M₀时，点M到直线x+2y-10=0的距离最小．由此结合题意加以计算，即可得到本题的答案．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题给出与椭圆相离的一条直线，求椭圆上的点到直线距离的最小值．着重考查了点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题．