证明：设n阶矩阵A的每行元素绝对值之和小于1,则矩阵A的特征值的绝对值小于1

题目

证明：设n阶矩阵A的每行元素绝对值之和小于1,则矩阵A的特征值的绝对值小于1

答案

证明：
首先证明∑[i=1,n]λi^2=∑[i=1,n]∑[j=1,n]aijaji
由于A^2的特征根为λ1^2,λ2^2,...,λn^2（想知道这个结论的证明可以另外定向提问）
且特征跟的和即主对角线上所有元素的和（想知道这个结论的证明可以另外定向提问）
而A^2上主对角线上元素的和为∑[i=1,n]∑[j=1,n]aijaji
故∑[i=1,n]λi^2=∑[i=1,n]∑[j=1,n]aijaji①
且有柯西不等式：[∑[i=1,n](aibi)]^2≤∑[i=1,n]ai^2∑[i=1,n]bi^2②
其次结合上述结论,对n用数学归纳法：
当n=1时由①知λ^2=a^2,因为a