已知a,b,c,d都是正实数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd.求证a=b=c=d

题目

已知a,b,c,d都是正实数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd.求证a=b=c=d

答案

证明：∵a^4+b^4+c^4+d^4=(a^4+b^4)+(c^4+d^4)
又 a,b,c,d都是正实数
∴a^4+b^4+c^4+d^4=[(a^2)^2+(b^2)^2]+[(c^2)^2+(d^2)^2]
>=2a^2*b^2+2c^2*d^2=2[(ab)^2+(cd)^2]
>=2*2abcd=4abcd
当 a=b①,c=d,②ab=cd③　时等号成立
　　　又 a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd ④
由①②③④得 a=b=c=d
∴a=b=c=d