高等代数 A是复数域上的一个N阶矩阵,R1,R2...,RN是A的全部特征根（重根按重数计算） 证（1）若F(X)F(R1)

题目

高等代数 A是复数域上的一个N阶矩阵,R1,R2...,RN是A的全部特征根（重根按重数计算） 证（1）若F(X)F(R1)
高等代数 A是复数域上的一个N阶矩阵,R1,R2...,RN是A的全部特征根（重根按重数计算） 证（1）若F(X)是C上次数大于0多项式,则F(R1),F(R2),...F(RN)是F(A)的全部特征根.（2）若A可逆,1/R1,1/R2,...,1/RN是A^-1的全部特征根

答案

因为A是复数域上的一个N阶矩阵,R1,R2...,RN是A的全部特征根（重根按重数计算）,
所以A的Jordan标准形的主对角线上元素为R1,R2...,RN.
(1) 若F(X)是C上次数大于0多项式,则F(A)的Jordan标准形的主对角线上元素为
F(R1),F(R2),...F(RN)
可见F(R1),F(R2),...F(RN)是F(A)的全部特征根.
(2) 若A可逆,则R1,R2...,RN均非零,且A^-1的Jordan标准形的主对角线上元素为
1/R1,1/R2,...,1/RN,
可见1/R1,1/R2,...,1/RN是A^-1的全部特征根.