利用极限存在准则证明数列：2的正平方根、（2+2的正平方根）的正平方根、【2+（2+2的正平方根）的正平方根】的正平方根.的极限存在

题目

利用极限存在准则证明数列：2的正平方根、（2+2的正平方根）的正平方根、【2+（2+2的正平方根）的正平方根】的正平方根.的极限存在

答案

根据题意,设此数列为an,an>0则a1=根号2,a(n+1)=根号下(2+an),即[a(n+1)]^2=2+an
易得a2>a1
[a(n+1)]^2-(an)^2=[a(n+1)+an]*[a(n+1)-an]=an-a(n-1)
根据数学归纳法得a(n+1)>an即an为递增数列
下面证明an<2
a1=根号2<2
假设ak<2,a(k+1)=根号下(2+ak)<根号（2+2）=2
有数学归纳法可得,an<2
综上,由极限存在准则得an存在极限.
解得,an的极限为2.