1.设0＜x＜π/2,则x（sinx）^2＜1是xsinx＜1的什么条件 2.已知函数f（x）满足f（1）=1/4,

题目

1.设0＜x＜π/2,则x（sinx）^2＜1是xsinx＜1的什么条件 2.已知函数f（x）满足f（1）=1/4,
4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x,y属于R）则f（2010）=?

答案

1.∵0＜x＜π/2,∴sinX＜1
∴（sinx）^2＜sinX
我们可以据此大致画出f（X）=（sinx）^2的图像来（0＜x＜π/2）
f（X）=（sinx）^2的图像总在f（X）=sinX的下方
又∵由x（sinx）^2＜1得（sinx）^2＜1/X
由xsinx＜1得sinX＜1/X
且易证y=1/X的图像过f（X）=（sinx）^2和f（X）=sinX的图像
设X1,X2是（sinx）^2=1/X和sinX＜1/X的两根
由上述的可得X1＞X2
所以是必要不充分条件
2.令y=1,得4f(1)f(x)=f(x)=f(x+1)+f(x-1) ①
令x=1,得f(y)=f(1+y)+f(1-y)
将y换为x,得f(x)=f(1+x)+f(1-x) ②
结合①,得f(1-x)=f(x-1)
即f(x)为偶函数
由②得,f(2010)=f(2011)+f(1-2010)=f(2010)+f(2009)
∴f(2011)=f(2010)-f(2009)
同理,易证f(2010)=f(2009)-f(2008)
∴f(2010)=f(2009)-f(2008)
=f(2008)-f(2007)-f(2008)
=-f(2007)
同理,f(2007)=-f(2004)
∴f(2010)=f(2004)
即以6为周期
∴f(2010)=f(0)
由①得,f(0）=f(1)+f(-1)=2f(1)=0.5
所以f(2010)=0.5
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