在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点Q是CD上任意一点,DP⊥AQ交BC于点P. (1)求证:DQ=CP; (2)OP与OQ有何关系?试证明你的结论.
题目
在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点Q是CD上任意一点,DP⊥AQ交BC于点P.
(1)求证:DQ=CP;
(2)OP与OQ有何关系?试证明你的结论.
答案
(1)证明:∵正方形ABCD中,∠ADC=90°,即∠ADP+∠PDC=90°,
又∵DP⊥AQ,
∴∠DAQ+∠ADP=90°,
∴∠DAQ=∠PDC,
∵在△ADQ和△CDP中,
,
∴△ADQ≌△CDP(ASA),
∴DQ=CP;
(2)OP=OQ且OP⊥OQ.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ODQ=∠OCP,
∵在△OCP和△ODQ中,
∴△OCP≌△ODQ(SAS),
∴OP=OQ,且∠DOQ=∠POC
又∵∠DOC=90°,
∴∠QOP=90°,
则OP⊥OQ.
(1)根据直角三角形的性质证得∠DAQ=∠PDC,然后根据ASA即可证得△ADQ≌△CDP,即可证得;
(2)首先证明△OCP≌△ODQ,即可得到OP=OQ,且∠DOQ=∠POC,然后根据正方形的对角线互相垂直即可证得∠QOP=90°,从而证出垂直.
正方形的性质;全等三角形的判定与性质.
本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质,正确证明△OCP≌△ODQ是关键.
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