如图，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB、AC为边向外侧作两个等边三角形△ABM和△CAN，D、E、F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE、FE，求证：DE=EF．

题目

如图，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB、AC为边向外侧作两个等边三角形△ABM和△CAN，D、E、F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE、FE，求证：DE=EF．

答案

证明：连接MC、BN，
∵△ABM和△CAN是等边三角形，
∴∠BAM=∠CAN=60°，MA=BA，AN=AC
∴∠BAM+∠BAC=∠CAN+∠BAC，
即∠MAC=∠BAN，
在△MAC与△BAN中，

MA＝BA ∠MAC＝∠BAN AN＝AC

，
∴△MAC≌△BAN（SAS），
∴MC=NB，
∵D、E、F分别是MB，BC，CN的中点，
∴DE=

1

2

MC，EF=

1

2

BN，
∴DE=EF．

连接MC、BN，证明△MAC与△BAN全等，可得MC=BN．再通过三角形的中位线定理可证DE、EF分别是MC、BN的一半，从而可得DE=EF．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理．

考点点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，三角形的中位线定理，关键是证明MC=BN．