判断单调性,并证明y=x²-（1/X),x∈（0,﹢∞）?

题目

判断单调性,并证明y=x²-（1/X),x∈（0,﹢∞）?

答案

已知x∈（0,+∞）
∴在（0,+∞）上取x1,x2 且令x1＜x2
则有f（x1）-f（x2）=（x1）²-（1/x1）-[（x2）²-（1/x2）]
=（x1）²-（x2）²-(1/x1)+（1/x2）
=[（x1）²-(x2)²]-[（1/x1）-(1/x2)]
=[（x1）²-(x2)²]-[(x2-x1)/(x1x2)]
∵x1,x2∈（0,+∞）且x1＜x2
∴x2-x1＞0 x1x2＞0
∴[(x2-x1)/(x1x2)]＞0
∵x1＜x2
∴[（x1）²-(x2)²]＜0
∴[（x1）²-(x2)²]-[(x2-x1)/(x1x2)]＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0 ∴f（x1）＜f（x2）
综上 ∵x1＜x2 f（x1）＜f（x2）∴该函数在（0,+∞）上单调递增
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