现有一个19°的“模板”,请你设计一种方法,只用“模板”和铅笔画出一个1°角来.如果“模板”改成17°呢?21°呢?如果能,指出简要画图步骤,如不能,说明理由.

题目

现有一个19°的“模板”,请你设计一种方法,只用“模板”和铅笔画出一个1°角来.如果“模板”改成17°呢?21°呢?如果能,指出简要画图步骤,如不能,说明理由.

答案

（1）现有一个19°的“模板”（图）,请你设计一种办法,只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来．
（2）现有一个17°的“模板”与铅笔,你能否在纸上面画出一个1°的角来?
（3）用一个21°的“模板”与铅笔,你能否在纸上画出一个1°的角来?
对（2）、（3）两问,如果能,请你简述画法步骤,如果不能,请你说明理由．考点：角的计算．专题：作图题．分析：（1）在平面上取一点O,过O点画一条直线AOB,以19°模板顶点与O重合,一边与OB射线重合,另一边落在射线OB1,仍以O为顶点,角一边重合于OB1,另一边落在射线OB2,这样作出19个19°的角,其总和为361°,即可求解．
（2）利用17°角的模板,要画出1°的角,关键在于找到整数m和n,使得17×m-180×n=1．
（3）利用21°角的模板,要画出1°的角,关键在于找到整数m和n,使得21×m-180×n=1．（1）在平面上取一点O,过O点画一条直线AOB,以19°模板顶点与O重合,一边与OB射线重合,另一边落在射线OB1,仍以O为顶点,角一边重合于OB1,另一边落在射线OB2,这样作出19个19°的角,其总和为361°,
∠BOB19就是1°角；
（2）利用17°角的模板,要画出1°的角,关键在于找到整数m和n,使得17×m-180×n=1．
事实上17×53-180×5=901-900=1．
所以作法如下：
在平面上任取一点O,过O点画直线AOB,以OB为始边．O为顶点,反时针方向依次画53个17°的角,设最后的终边为OB53,而5×180°的终边在OA射线,这时∠AOB53即为1°的角；
（3）若用21°的模板可以画出1°的角,则存在整数m,n,使得
21×m-180×n=1,此时我们发现,这样的m,n不存在,因此,用21°角的模板和铅笔不能画出1°角来．点评：本题考查了角的计算,难度较大,关键是找到符合题意的整数m和n．