已知向量OP=(cosx,sinx),OQ=(-√3/3sinx,sinx),定义函数f(x)=OP*OQ

题目

已知向量OP=(cosx,sinx),OQ=(-√3/3sinx,sinx),定义函数f(x)=OP*OQ
1,求f(x)的最小正周期和最大值及相应的x值
2,当OP垂直于OQ时,求x 的值

答案

（1）f(x)=OP·OQ
=(cosx,sinx)·(-√3/3sinx,sinx)
=-√3/3sinx·cosx+sin²x
=（-√3sin2x/6）+[(1-cos2x)/2
=（-√3sin2x/6）-(cos2x/2)+1/2
=-(√3/3)sin(2x+π/3)+1/2
最小正周期T=2π/2=π；
最大值为√3/3+1/2,此时2x+π/3=-π/2+2kπ,x=-5π/12+kπ(k∈Z)
(2)∵OP垂直于OQ
∴OP·OQ=0,即f(x)=-(√3/3)sin(2x+π/3)+1/2=0,
即sin(2x+π/3)=√3/2
∴2x+π/3=(π/3)+2kπ 或2x+π/3=(2π/3)+2kπ (k∈Z)
解得：x=kπ 或x=（π/6）+kπ (k∈Z)