设在平面上有两个向量m=(cosα,sinα）,n=cosβ,sinβ）,且（0＜α≤β≤π）

题目

设在平面上有两个向量m=(cosα,sinα）,n=cosβ,sinβ）,且（0＜α≤β≤π）
若k≠0,且km+n与m-kn两个向量的模相等,求β-α

答案

由模相等可得：|km+n|=|m-kn|
∴(km+n)²=(m-kn)²
∴k²m²+2kmn+n²=m²-2kmn+k²n² .(1)
∵m²=n²=1
∴(1)可化为：kmn=0
∵k≠0
∴mn=0
∴cosαcosβ+sinsαinβ=0
∴cos(β-α)=0
又∵β-α≥0
∴β-α=π/2