如右图,已知DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别是E、F,AE=CF,DC∥AB, (1)试证明:DE=BF; (2)连接DF、BE,猜想DF与BE的关系?并证明你的猜想的正确性.

如右图,已知DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别是E、F,AE=CF,DC∥AB, (1)试证明:DE=BF; (2)连接DF、BE,猜想DF与BE的关系?并证明你的猜想的正确性.

题目
如右图,已知DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别是E、F,AE=CF,DC∥AB,

(1)试证明:DE=BF;
(2)连接DF、BE,猜想DF与BE的关系?并证明你的猜想的正确性.
答案
(1)证明:∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠AFB=∠DEC=90°,
∵DC∥AB,
∴∠DCE=∠BAF,
在△AFB和△CED中
∠BAF=∠DCE
AF=CE
∠AFB=∠DEC

∴△AFB≌△CED,
∴DE=EF;
(2)
DF=BE,DF∥BE,
证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴DE∥BF,
∵DE=BF,
∴四边形DEBF是平行四边形,
∴DF=BE,DF∥BE.
(1)求出AF=CE,∠AFB=∠DEC=90°,根据平行线的性质得出∠DCE=∠BAF,根据ASA推出△AFB≌△CED即可;
(2)根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形,再根据平行四边形的性质得出即可.

全等三角形的判定与性质.

本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质,平行四边形的性质和判定的应用,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL,全等三角形的对应边相等,对应角相等.

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