已知p是等边△ABC内任意一点,过点P分别向三边做垂线,垂足分别为点D.E.F,试证明PD+PE+PF是不变的值.

题目

已知p是等边△ABC内任意一点,过点P分别向三边做垂线,垂足分别为点D.E.F,试证明PD+PE+PF是不变的值.

答案

证明：
由三角形的面积很容易证明.
S△ABC=S△PAB+S△PCB+S△PAC
S△PAB=AB*PD/2
S△PCB=BC*PD/2
S△PAC=AC*PF/2
又：等边三角形AB=BC=CA
所以：
S△ABC=AB*PD/2+BC*PD/2+AC*PF/2=AB*(PD+PE+PF)/2=AB*H/2(H是AB边上的高)
PD+PE+PF=H
是不变的.