在三角形ABC中,三个内角a,b,c,三条边a,b,c满足 sin(A-B)/sin(A+B)=b+c/c

题目

在三角形ABC中,三个内角a,b,c,三条边a,b,c满足 sin(A-B)/sin(A+B)=b+c/c
1）求角A的大小
2）若a=6,求三角形ABC面积最大值

答案

1、sin(A－B)/sinC=(b＋c)/c=(sinB＋sinC)/sinC,
sin(A－B)=sinB＋sinC
即：sinAcosB－cosAsinB=sinB＋sinC
a×[a²＋c²－b²]/2ac－b×[b²＋c²－a²]/2bc=b＋c
a²－b²=c(b＋c)
b²＋c²－a²=－bc,从而cosA=－1/2,即A=120°.
2、S=(1/2)bcsinA,故只要求出bc的最大值即可.有b²＋c²－a²＋bc=0,即b²＋c²＋bc=36,而b²＋c²≥2bc,所以有3bc≤36,就是bc≤12,即S的最大值是3√3.