如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F． 求证：（1）△ADF∽△EDB； （2）CD2=DE•DF．

题目

如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F．
求证：（1）△ADF∽△EDB；
（2）CD²=DE•DF．

答案

证明：（1）在Rt△ABC中，
∠B+∠A=90°
∵DF⊥AB
∴∠BDE=∠ADF=90°
∴∠A+∠F=90°，
∴∠B=∠F，
∴△ADF∽△EDB；
（2）由（1）可知△ADF∽△EDB
∴∠B=∠F，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线
∴CD=AD=DB，
∴∠DCE=∠B，
∴∠DCE=∠F，
∴△CDE∽△FDC，
∴

CD

DF

=

DE

DC

，
∴CD²=DF•DE．