如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,P、Q分别是BM、DN的中点. (1)求证:△MBA≌△NDC; (2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形?请说明理由.

如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,P、Q分别是BM、DN的中点. (1)求证:△MBA≌△NDC; (2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形?请说明理由.

题目
如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,P、Q分别是BM、DN的中点.

(1)求证:△MBA≌△NDC;
(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形?请说明理由.
答案
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°,
∵在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,
∴AM=
1
2
AD,CN=
1
2
BC,
∴AM=CN,
在△MAB和△NDC中,
AB=CD
∠A=∠C=90°
AM=CN

∴△MBA≌△NDC(SAS);
(2)四边形MPNQ是菱形.
理由如下:连接AP,MN,
则四边形ABNM是矩形,
∵AN和BM互相平分,
则A,P,N在同一条直线上,
易证:△ABN≌△BAM,
∴AN=BM,
∵△MAB≌△NDC,
∴BM=DN,
∵P、Q分别是BM、DN的中点,
∴PM=NQ,
DM=BN
DQ=BP
∠MDQ=∠NBP

∴△MQD≌△NPB(SAS).
∴四边形MPNQ是平行四边形,
∵M是AD中点,Q是DN中点,
∴MQ=
1
2
AN,
∴MQ=
1
2
BM,
∵MP=
1
2
BM,
∴MP=MQ,
∴平行四边形MQNP是菱形.
(1)根据矩形的性质和中点的定义,利用SAS判定△MBA≌△NDC;
(2)四边形MPNQ是菱形,连接AN,有(1)可得到BM=DN,再有中点得到PM=NQ,再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN,从而证明四边形MPNQ是平行四边形,利用三角形中位线的性质可得:MP=MQ,进而证明四边形MQNP是菱形.

矩形的性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;菱形的判定.

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质、三角形中位线定理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法,属于基础题目.

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