正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为根号2a,求AC1与侧面AB1所成的角（请以A为原点）

题目

正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为根号2a,求AC1与侧面AB1所成的角（请以A为原点）

答案

c以A为原点,分别以AB,底面AB的垂线和AA1为X轴、Y轴、Z轴建立空间直角坐标系,以a为1个单位,
A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（1/2,√3/2,0）,
A1（0,0,√2）,B1（1,0,√2）,C1（1/2,√3/2,√2）,
向量AC1=（1/2,√3/2,√2）,
∵平面ABB1A1在XOZ平面,
∴法向量n=(0,1,0),
向量AC1·n=√3/2,
|n|=1,
|AC1|=√（1/4+3/4+2）=√3,
设n和AC1所成角为α1,AC1与平面ABB1A1所成角为α,
α+α1=π/2,
cosα1=AC1·n/（|AC1|*|n|)=（√3/2）/（√3）=1/2,
cosα=sinα1=γ（1-1/4）=√3/2,
α=30°
∴AC1与侧面AB1所成的角30°
为什么一定要用向量解?
取A1B1中点M,
∵△A1B1C1是正△,
∴C1M⊥A1B1,
∵平面ABB1A1⊥平面A1B1C1,
∴C1M⊥平面ABB1A1,
∴〈C1AM就是AC1与平面ABB11所成角
C1M=√3/2,
AC1=√3,
AM=√（AA1^2+A1M^2)=3/2,
cos∴AC1和平面ABB1A1所成角为30°.