如图,已知在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,在线段AC和线段CB的延长线上分别有两个动点E、F,联结EF交AB于点P,且PE=PF

题目

如图,已知在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,在线段AC和线段CB的延长线上分别有两个动点E、F,联结EF交AB于点P,且PE=PF
（1）求证：AE=BF
（2）若设AE=x,BP=y,求y于x之间的函数解析式,并写出函数定义域
（3）若∠FEC=60°,求AE的长

答案

(1)证明;：过点E作EG平行CF交AB于G
所以角AGE=角ABC
角PEG=角F
角PGE=角PBF
因为PE=PF
所以三角形PGE和三角形PBF全等（AAS)
所以GE=BF
PG=PB=1/2BG
因为AC=BC
所以角EAG=角ABC
所以角EAG=角AGE
所以AE=GE
所以AE=BF
因为EG平行CF
所以CE/AE=BG/AG
因为角C=90度
AC=BC=2
所以三角形ABC是等腰直角三角形
所以由勾股定理得：
AB^2=AC^2+BC^2
所以AB=2倍根号2
因为AE=x PB=y
CE=AC-AE=2-x
PB=1/2BG
AG=AB-BG=2倍根号2-2y
所以Y=-根号2x/2+根号2
x的定义域是：0