已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3,△ABC的高为h.“若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得结论h1+h2+h3=h”.请直接应用上述
题目
已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h
1、h
2、h
3,△ABC的高为h.“若点P在一边BC上(如图1),此时h
3=0,可得结论h
1+h
2+h
3=h”.请直接应用上述信息解决下列问题:
(1)当点P在△ABC内(如图2),(2)点P在△ABC外(如图3)这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,h
1、h
2、h
3与h之间的关系如何?请写出你的猜想,不需证明.
答案
(1)当点P在△ABC内时,结论h
1+h
2+h
3=h仍然成立.
理由如下:过点P作BC的平行线,交AB于G,交AC于H,交AM于N,则可得结论h
1+h
2=AN.
∵四边形MNPF是矩形,
∴PF=MN,即h
3=MN.
∴h
1+h
2+h
3=AN+MN=AM=h,
即h
1+h
2+h
3=h.
(2)当点P在△ABC外时,结论h
1+h
2+h
3=h不成立.此时,它们的关系是h
1+h
2-h
3=h.
理由如下:过点P作BC的平行线,与AB、AC、AM分别相交于G、H、N,则可得结论h
1+h
2=AN.
∵四边形MNPF是矩形,
∴PF=MN,即h
3=MN.
∴h
1+h
2-h
3=AN-MN=AM=h,
即h
1+h
2-h
3=h.
举一反三
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