如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE=x，FC=y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是_（填序号）

题目

如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE=x，FC=y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是______（填序号）

答案

解法一：设BE=x，FC=y，则AE²=x²+4²，EF²=（4-x）²+y²，AF²=（4-y）²+4²．
又∵△AEF为直角三角形，
∴根据勾股定理得到AE²+EF²=AF²．即x²+4²+（4-x）²+y²=（4-y）²+4²
化简得：y=-

1

4

x2+x=-

1

4

（x-2）2+1，即y=（x-2）²+1，
此时，该函数图象是以（2，1）为顶点的抛物线．
很明显，y关于x的函数图象是①．
解法二：易证△ABE∽△ECF，则BE：CF=AB：EC，即x：y=4：（4-x）y，
整理，得y=-

1

4

（x-2）²+1，
此时，该函数图象是以（2，1）为顶点的抛物线．
很明显，y关于x的函数图象是①．
故填：①．