数列{an}满足sn=2n-an(n∈N*)

题目

数列{an}满足sn=2n-an(n∈N*)
（1）计算a1,a2,a3,a4,由此猜想通项公式an,并用数学归纳法证明此猜想
（2）若数列{bn}满足bn=2^n-1×an,求证：1/b1+1/b2+1/b3+···+1/bn＜5/3
请详细说明第二小问

答案

1.
a1=S1=2×1-a1=2-a1 2a1=2 a1=1
S2=a1+a2=a2+1=2×2-a2=4-a2 2a2=3 a2=3/2
S3=a1+a2+a3=a3+5/2=2×3-a3 2a3=7/2 a3=7/4
S4=a1+a2+a3+a4=a4+17/4=2×4-a4 2a4=15/4 a4=15/8
a1=1=(2-1)/2^0 a2=3/2=(2²-1)/2 a3=7/4=(2³-1)/2² a4=15/8=(2⁴-1)/2³
猜想：an=(2ⁿ-1)/2^(n-1)
证：
n=1时,a1=(2-1)/1=1表达式成立.
假设当n=k(k∈N+)时,表达式成立,即ak=(2^k -1)/2^(k-1),则当n=k+1时,
Sk=2k-ak=2k-(2^k -1)/2^(k-1)
S(k+1)=Sk+a(k+1)=2(k+1)-a(k+1)
a(k+1)=(k+1)-(Sk)/2=k+1-k+(2^k -1)/2^k=(2^k -1)/2^k +1=(2×2^k -1)/2^k=[2^(k+1) -1]/[2^(k+1-1)]
表达式同样成立,k为任意正整数,因此对于任意正整数n,表达式恒成立.
数列{an}的通项公式为an=(2ⁿ-1)/2^(n-1)
2.
bn=2^(n-1) an=2^(n-1) [(2ⁿ-1)/2^(n-1)]=2ⁿ-1
n≥1 2ⁿ-1≥1>0,数列{bn}各项均为正.
1/bn=1/(2ⁿ-1)
1/b1=1/(2-1)=1