如图,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC.点P在△ABC内,且PA=3,PB=5,PC=2,求△ABC的面积.
题目
如图,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC.点P在△ABC内,且PA=
,PB=5,PC=2,求△ABC的面积.
答案
如图,作△ABQ,使得∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP,则△ABQ∽△ACP.
∵AB=2AC,
∴△ABQ与△ACP相似比为2.
∴AQ=2AP=2
,BQ=2CP=4,
∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°.
由AQ:AP=2:1知,∠APQ=90°,于是PQ=
AP=3,
∴BP
2=25=BQ
2+PQ
2,从而∠BQP=90°,
过A点作AM∥PQ,延长BQ交AM于点M,
∴AM=PQ,MQ=AP,
∴AB
2=AM
2+(QM+BQ)
2=PQ
2+(AP+BQ)
2=28+8
,
故S
△ABC=
AB•ACsin60°=
AB2=
=3+
.
故答案为:3+
.
首先构造△ABQ使得∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP.根据相似三角形的性质,求得AQ、BQ的值.再根据角间的关系求得∠QAP=60°,进而得到△APQ为直角三角形、△BQP为直角三角形.再利用勾股定理求得AB2的长.利用正弦定理与三角形的面积计算公式求得△ABC的面积.
面积及等积变换.
本题考查三角形面积的计算、勾股定理、相似三角形的判定与性质.解决本题的关键是构造△ABQ使得∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP,根据相似三角形的性质及勾股定理求得AB2的值.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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