求证不等式(a1*b1*c1*d1)¼+(a2*b2*c2*d2) ¼≤（（a1+a2）(b1+b2)(c1+c2)(d1+d2)）¼

题目

求证不等式(a1*b1*c1*d1)¼+(a2*b2*c2*d2) ¼≤（（a1+a2）(b1+b2)(c1+c2)(d1+d2)）¼

答案

题中所有变量都是正数.
先证明如下结论：
设x1*x2*x3*x4 = M,则 (1+x1)(1+x2)(1+x3)(1+x4) 的最小值在 x1=x2=x3=x4时达到.
证明：1.最小值存在,因为当某个xi ---> 无穷大时,(1+x1)(1+x2)(1+x3)(1+x4)>xi 也---> 无穷大.所以其最小值必在某点达到.设此点为（a,b,c,d).
2.必有 a=b=c=d.若不然,不妨设 a不=b,设 a1==b1=根(ab),则 容易验证：（a1,b1,c,d) 也满足 a1b1cd=M,且(1+a1)(1+b1)(1+c)(1+d) = (1+a)(1+b)(1+c)(1+d)=(1+(x1*x2*x3*x4 )^(1/4))^4
设 x1 = a1/a2,x2=b1/b2,x3=c1/c2,x4=d1/d2.带入上式 去分母 整理 便得所要结论.