已知数列{An}满足A1=0.5,A1+A2+…+An=n^2An(n∈N*),试用数学归纳法证明:An=1/n(n+1)

题目

已知数列{An}满足A1=0.5,A1+A2+…+An=n^2An(n∈N*),试用数学归纳法证明:An=1/n(n+1)

答案

假设An=1/n(n+1)成立
当n=1时A1=1/2成立
令n=k(k>=0)时Ak=1/k(k+1)成立
当n=k+1
A1+A2+…+Ak+A(k+1)=k^2*Ak+A(k+1)=(k+1)^2*A(k+1)
A(k+1)=1/(k+2)(k+1)
所以假设成立
所以An=1/n(n+1)