设集合L{L|直线L与直线y=3x相交,且以焦点的横坐标为斜率},问（1）.点P（-3,5）与集合L中的哪一条直线的距离最小?（2）.设a属于（0,正无穷）,点P（-3,a）与集合L中的直线距离最小值

题目

设集合L{L|直线L与直线y=3x相交,且以焦点的横坐标为斜率},问（1）.点P（-3,5）与集合L中的哪一条直线的距离最小?（2）.设a属于（0,正无穷）,点P（-3,a）与集合L中的直线距离最小值记为f（a）,求f（a）的解析式

答案

设直线L与直线y=3x的交点坐标是(t,3t),则L方程是y-3t=t(x-t)
即有tx-y-t^2+3t=0
(1)点P（－3,5）到L的距离d=|-3t-5-t^2+3t|/根号(t^2+1)=(t^2+5)/根号(t^2+1)=根号(t^2+1)+4/根号(t^2+1)>=2*2=4
即距离最小是4．
（2）d=|-3t-a-t^2+3t|/根号(t^2+1)=(t^2+a)/根号(t^2+1)
现在就是说(t^2 + a)/根号（t^2+1）的最小值为d.你最好分情况讨论：
(1) a>=2时：
（t^2 + a）/根号（t^2+1）=
根号（t^2+1）+ （a-1）/根号（t^2+1）>= 2*根号(a-1)=f(a),等号可以取到.
t=根号(a-2)
(2) 1